venerdì 8 febbraio 2008

Are you ready?

Sto in questo periodo leggendo "Flatlandia", ma questo post lo rimugino da un po' ed è indipendente dalle mie letture (ma non da quelle del buon fudo). Vi avverto: si parlerà di matematica, anche se in modo discorsivo. Vi riavverto: probabilmente non vorrete capire veramente quello che vi vado a raccontare. Vi triavverto: se nonostante ve lo sconsigli, riuscite a capire tutto ed alla fine non avete il mal di testa o la nausea, non avete capito veramente. Un ultimo avvertimento: non ci sono trucchi e non sto barando; quello che vi sto per raccontare è vero di una verità che è attualmente la più oggettiva attualmente possibile per un essere umano.

Su il sipario.

Iniziamo da una cosa apparentemente semplice: immaginate di avere un insieme. Uno qualsiasi, fatto di quello che volete e grande come volete. Avete immaginato? Immaginate di scegliere da questo insieme un elemento.
Fatto?
E come avete fatto? Chi vi assicura che dato un insieme potete sceglierne un elemento? Mi direte forse che sono troppo pignolo, ma stiamo parlando di matematica. BISOGNA essere assolutamente precisi, altrimenti succedono cose tremende (ad esempio che tutto diventa contemporaneamente vero e falso). Dunque chi ve lo assicura?
La prima, disarmante verità è che non ve lo assicura nessuno. Potete decidere voi se il fatto di poter scegliere un elemento da un insieme è vero oppure no e la maggior parte della matematica sta in piedi lo stesso, pur diventando molto più complicata. E' quello che si dice un assioma (questo in particolare si chiama assioma di scelta, AS d'ora in poi). La maggior parte dei matematici decide, data la sua estrema utilità, di considerare l'AS vero. Ma una ristretta cerchia di matematici ha deciso, a costo di complicarsi la vita in una maniera che non potete nemmeno immaginare, di assumerlo falso. Il mio arguto lettore a questo punto si chiederà: cosa spinge questi individui in una sì pesante forma di masochismo matematico?
Ebbene, il problema è che l'AS ha una progenie mostruosa: se lo si assume vero (come, ripeto, molti fanno) diventano verità matematicamente dimostrabili una serie di teoremi a dir poco controintuitivi, cosa che non succede se lo si assume falso. Ed è proprio di uno di questi assassini del sentir comune che vi voglio parlare: il "paradosso di Banach-Tarski".
Già nel nome di questo teorema risuonano due campanelli di allarme: il primo è il fatto che un teorema (ovvero qualcosa di matematicamente dimostrabile) sia un paradosso. Il secondo è il nome Tarski. Alfred Tarski è stato un importante logico matematico del secolo scorso la cui forse più nota creatura è conosciuta nell'ambiente come il "mostro di Tarski". Capirete quindi che non ci si possa aspettare nulla di buono. Ma non indugiamo oltre.
Immaginate una sfera (piena). Immaginate di romperla in un numero finito di pezzi. Immaginate di prendere questi pezzi e ricombinarli per ottenere due sfere uguali a quella di partenza. Ho detto UGUALI alla prima: stesso volume, stesso raggio, stesso tutto. Ebbene questo si può fare. Se preferite, ma è la stessa cosa, potete dimostrare che prendendo una pallina da golf potete in teoria spezzarla in un numero finito di parti e ricombinarle in modo da ottenere una nuova pallina da golf, grande quanto il sole.
I lettori che non sono ancora scappati via urlando forse si chiederanno: come è possibile che gli stessi pezzi che formano una palla di un dato volume ne formino due uguali per un totale di un volume doppio? La risposta è che quei pezzi NON hanno volume (cosa ben diversa dall'avere volume 0) e quando ricombinate dei pezzi che non hanno volume potete ottenere un nuovo oggetto che a sua volta non ha volume o, a seconda di come li ricombinate, che ha volumi diversi.
Tutto questo per colpa di qulla assunzione apparentemente piccola e innocente di aver deciso di poter sempre scegliere un elemento da un insieme.
Non vi basta? Volete il colpo di grazia? Beh, considerate che il "paradosso" dimostra che si può fare una cosa tanto strana, ma non vi dice come. E quel che è peggio è che nessun teorema vi potrà mai dire come, perché una cosa del genere equivarrebbe a dimostrare la verità dell'assioma di scelta, cosa che è stata dimostrata non essere dimostrabile.
Non avete una leggera voglia di vomitare?
Welcome to my world.
M

10 commenti:

fudo ha detto...

bene, chissà se qualcuno ha avuto il coraggio di restare fino alla fine...

Un solo appunto: l'assioma della scelta dice in realtà qualcosa di un po' piú complicato, ma che sembra comunque abbastanza innocente per molti matematici (se non fosse per le strane conseguenze).

Per i masochisti, i curiosi e quelli che "abbiamo fatto trenta, facciamo trentuno", l'assioma dice in sostanze che, data una collezione (insieme) di insiemi qualsiasi, si può formare un nuovo insieme scegliendo un elemento da ciascun insieme della collezione. Chiaro, no?

MiKo ha detto...

Non esageriamo con la pedanteria, c'è già abbastanza da perdersi così :). Oltretutto le due formulazioni mi sembrano equivalenti: è evidente che la tua implica la mia perché posso considerare una famiglia formata da un solo insieme; se posso, inoltre, per ogni insieme della collezione scegliere un elemento, facendone l'unione indiciata sulla collezione ottengo un insieme (in quanto si tratta di una famiglia indiciata su un insieme) formata scegliendo un elemento da ciascun insieme. Se poi per collezione intendi classe siamo d'accordo, ma io mi l'AS ricordo di averlo imparato nella forma "per ogni insieme delle parti posso costruire una funzione di scelta". Comunque andrò a controllare.
Per tutti gli altri: non vi preoccupate, qualche volta parliamo anche di cose normali :P

Anonimo ha detto...

nina

ho mal di testa. ho superato il test?

(sicuri che non ci sia un certa risatina stridula di sottofondo?)

;)

(from profany's land)

MiKo ha detto...

Non c'è nessuna risatina. Me l'ha detto l'omino nel cervello.

Anonimo ha detto...

nina

ah, ecco. tutto chiaro

;)

meno male che da me
l' omino dorme o guarda i fiorellini...

Anonimo ha detto...

nina

(ps. comunque interessante. ho qualche reminescenza lontana...avendo fatto il liceo classico poi facoltà umanistica puoi immaginare le nebbie...ma qualcosa qualcuno deve avermelo cercato di raccontare da qualche parte...)

MiKo ha detto...

@nina
Mi inchino fino a toccare il pavimento con la fronte se hai avuto un professore di liceo (per di più classico) tanto illuminato. Davvero.

Anonimo ha detto...

nina

...avevo un professore moooolto buono, un pò tra le nuvole, che riempiva la lavagna di geroglifici incomprensibili tutto felice, come nella tradizione del miglio genio incompreso.

e incompreso era eccome, in una scuola dove le sue materie, poverette, venivano facilm un pò scavalcate in favore di altre mattonose altre...e lui era troppo arrendevole...poi al pomeriggio faceva l' insegnante di scherma. un personaggio.
ma la mia matematica e fisica...ehm.

(finecavolimiei)

nonsisamai ha detto...

uffa...io l'ho scorso tutto il post pero' mi aspettavo che alla fine ci fosse tipo una 'morale della favola', un finale ad effetto anche per noi poveri comuni mortali, un bigino che so... :)

MaRi ha detto...

Wow! Quanto mi mancate... :(